向量

1. 概念

• 图形学默认向量是一个列向量；

2. 向量点乘 （·）

• 点乘的结果是一个值；

• 

• 满足交换律、结合律、分配律；

• 在图形学中的作用是找到两个向量/方向的夹角，比如：光线夹角，物体表面法线等等

• 可以将一个向量在另外一个向量上的投影计算出来；

• 可以看出物体前后位置的信息；

  • 

  • 当两向量的夹角 > 0 ，表示方向相反；

  • 当两向量的夹角 < 0，表示方向相同

3. 向量叉乘（x）

• 

• 叉乘的结果是一个向量；

• 右手螺旋定则：除大拇指外的四个手指表示旋转方向，大拇指表示叉乘结果后的方向，如：

  • 求 a x b，就是从 a 旋转到 b 后大拇指的方向朝上；
  • 求 b x a，则大拇指方向朝下；

• 用于建立三维空间的直角坐标系，比如：

  • 在三维空间中，给定一个 x，y 轴，可以算出 z 轴；

  • 在三维空间中，给定一个 y，z 轴，可以算出 x 轴；

  • 在三维空间中，给定一个 x，z 轴，可以算出 y 轴；

• 没有交换律，满足结合律、分配律；

• 判断两向量的左/右：

  • a x b 得出的结果 z 是一个正数，表示 b 在 a 的左侧；
  • b x a 得出的结果 z 是一个负数，表示 a 在 b 的右侧；

• 判断点 P 在三角形内/外部：

  • 在内部：P 点一定在都三条边的左边/右边；

矩阵

1. 概念

• 由行，列组成；
• 矩阵点乘：
  • 
  • 没有交换律（即不可以位置对调），满足结合律、分配律；
• 让 x / y 变成负的：
  • 
• 矩阵的转置：
  • 

变换

1. 二维变换

（1）缩放变换：

• 

（2）反转变换：

• 

（3）切变换：

• 

（4）旋转：

• 

总结：

• 上面四种变换均是线性变换：
• 

2. 齐次坐标

（1）向量具有不变性，即无论怎么平移，向量都不会发生改变；

（2）一个点减去另外一个点，等于一个向量；

（3）对于一个 2D 的点：

• 
• 

（4）对于一个 2D 的向量：

• 

（5）逆变换：一个矩阵乘以它的逆矩阵，结果为一个单位矩阵；

3. 三维变化

• 
• 在描述三维空间中，仿射变换的情况下对应矩阵的最后一行永远都是0,0,0…,1；
• 

（1）缩放、平移和二维类似；

（2）旋转（绕着某一固定轴旋转）：

变换组合

（1）旋转默认以原点为中心，方向为逆时针；

（2）变换的顺序很重要；

• 先平移，后旋转 与 先旋转，后平移的区别：
  • 

（3）旋转的逆（往相反的方向旋转相同的角度）：

• 先正向旋转，再进行转置；
• 正交矩阵：一个矩阵的逆等于它的转置